VEKTÖR VE UZAYPozisyonŞimdi sayıların hepsi aritmetikte birer eleman. Bu elemanları birbirinden ayıran (2'yi 3'ten ayıran şey mesela) bu sayıların 'miktar'ları. Bu elemanların hangi kümelerde olduğunu ya da hangi kümelerde olmadığını belirleyen şey bu miktar hadisesi. Eğer sayılara ait miktarlar olmasaydı onları büyüktür, küçüktür gibi karşılaştıramazdık. Yahut "Bu sayı böyledir, o sayı şöyledir." gibi bir takım etiketler yapıştırıp onları kümelere sokamazdık. Hepsi birbirinin aynı olurdu.
Geometrideki noktaları da birbirinden ayıran şeyin adı 'pozisyon'. Yani cisimler içinde nerelerde bulundukları. Bu pozisyon hadisesi yukarı, aşağı, uzak, yakın, dış, iç gibi tamamen sindirmesi kolay şeylerdir. Misal bir topun yüzeyini bir 'top kümesi' olarak tanımladım diyelim. Topu da kapsayan 3 boyutlu bir uzayda (boyut nerden çıktı daha) topun içi ve dışı dediğim vakit oralarda bulunan noktaları ifade etmiş olurum. Topun içi kümesi ile topun dışı kümesinin birbirinden ayıran şey bu iki kümenin elemanlarının topa göre pozisyonlarıdır.
(Noktalara pozisyondan başka, miktar yahut yön gibi başka özellikler de eklenebilir, alanlarda olduğu gibi. Ama olayı basit tutmak için sadece pozisyondan bahsetmek yeterli. Kompleks sayılarda da mesela iki tane miktar bulunur, bu da onun gibi.)Şimdi sayılarda her şey güzel. İnsan denen şahane canlı öyle iki sayı tanımlamış ki, diğer tüm sayıların miktarını bu iki sayı cinsinden yazabilmiş. Bu iki sayı 0 (hiçlik) ve 1 (teklik). Diğer tüm sayıların miktarı bu iki sayı cinsinden tanımlı.
Bu tanımı dille ifade etmesi zor çünkü rekursif bi tanım. Dilim şöyle dönüyor:
0'ın miktarı hiçliktir.
1'in miktarı tekliktir.
Bir sayının miktarı ile 0 arasındaki ilişkinin, 1 ile 0 arasındaki ilişkiye oranı; yine o sayının miktarıdır.Geometrideki pozisyonun da böyle bir tanımı vardır. Sayılar için hiçlik ve teklik kavramları yetmişti. Ama noktalar için iki şeye ihtiyacımız var. Bir adet referans noktası ve biraz vektör. Geri kalan tüm noktaların pozisyonlarını bunların cinsinden tanımlayabiliriz. Bu şeylerle tanımlanan tüm noktalara da geometrik 'uzay' adını verdim gitti (şimdilik).
Şimdi 'biraz vektör' deyince çok karışık oldu. Daha vektör nedir ondan bahsetmedik. Biraz derken kastım burada tam sayı adetinde olsun
(fractal kasmayalım).
En basit durum 0 adet vektör olacaktır. Bu durumda elimde sadece bir adet referans noktası var. Bu noktanın edebi ismi 'merkez (orijin)'. Geri kalan tüm noktaları bu merkeze göre tanımlayacağım.
Şimdi yaslanıp düşünün, böyle tanımlanabilecek sadece bir nokta olabilir. Size sadece bir kavram veriyorum, geriye kalan tüm kavramlar bundan çıkar diyorum. Felsefi olarak bu, geride başka kavram yok demektir. Halbuki sayılarda mesela hiçlik ve teklik diye iki kavram verdim. Bu iki kavramın ilişkisinden bissürü sayı üretebiliriz. Ama tek bi merkez verirsem başka bi şey çıkmaz ki ortaya, çünkü bahsedilecek bi ilişki yok!
İşte bu özel durumla tanımlanan tüm noktaların (sadece merkezin yani) kümesine '0D uzayı' adını veriyoruz. 0 sayısı 0 adet vektör kullanmamızdan ötürü geliyor. Kağıt üzerinde bu uzayı şöyle gösterebiliriz:
.
merkezNe kadar şirin di mi? Tek elemanlı bi uzay. Sahip olabileceğimiz en küçük uzaylardan biri. Ama çok önemli bi uzay çünkü içinde merkez var.
Şimdi bu kadarı tabi ki yeterli değil. Devamını nası getiricez? Buraya kadar hep aritmetik sistemindeki kavramları kullanarak geometrik kavramları inşa ettik, aynısını yapmaya devam edelim.
AnalitikŞimdi yeni bir uzay tanımlayalım. Bu uzayda da yine özel tanımlı merkez olsun. Sayılarda nasıl 0 hiçliği temsil ediyorsa, merkez de uzayda ortada olmayı, merkezliği temsil edecek. Şimdi bi özel nokta daha tanımlayalım. Bunun adına 'birim pozisyon' adını verelim. Birim pozisyonun merkezin neresinde olduğundan henüz bahsetmiyoruz. Birim pozisyon, yeni uzayımızın her yerinde olabilir. Henüz uzaklık, yön gibi kavramları tanımlamadık o yüzden neresi gönlünüzden geçiyorsa 'birim pozisyon'u orası belirleyin.
Bu yeni uzayımızdaki merkez noktasına (0), birim pozisyona da (1) adını verelim. Parantez kullanmamızın sebebi sayılardan değil noktalardan bahsettiğimizi anlamak. Bundan başka tanımlayacağımız her sayı bu iki sayının tanımını kullanacak.
(Yine aynı rekursif tanım)Artık özel tanımlı iki noktamız var. Bu iki nokta arasındaki ilişkiden sonsuz tane daha nokta oluşturabiliriz! Ama o kadar noktaya tek tek isim mi vericez? Hayır bunun için 'analitik geometri' hadisesini kullanacağız. Bizden önce aritmetik denen güzide sistem kurulmuş, bundan faydalanarak noktaların pozisyonlarını sayıların miktarları ile adlandıracağız. Analitik geometri de basitçe söylersek, geometri ile aritmetik arasındaki bu ilişki.
(Aslında analitik geometriye, cebirle geometri arasındaki ilişki demek daha doğru olur.)Misal bi üçgen çizdik deftere. Bu Üçgen orda sadece geometrik bir cisimdir. Ama üçgenin köşelerine reel sayıları kullanarak isim verirsek geometrimiz biraz daha 'analitik'leşir.
Analitik olarak (3) dediğimizde mesela, (0) ve (1) noktalarına göre belirttiğimiz nokta, Aritmetikte 3'ün 0 ve 1'e göre bulunduğu nokta olacak. Aynı şekilde (2.5), (pi) noktalarını filan da tanımlayabiliriz. Eğer bu eşleştirmede sayılardan kullanacağımız en büyük küme reel sayılar kümesiyse bu uzaya '1D uzay' adını veriyoruz.
(Kompleks sayıları karıştırma.)Peki Ya Vektörler?Şimdi bu uzaya 1D uzay demiştik. Dolayısıyla bu uzayın tanımında bir adet vektör kullanmamız gerek. Burda kullandığımız (0) ile (1) arasındaki ilişki [1] vektörü olsun. Bu ilişki de nedir? (1)'in (0)'a göre 'yön'ü ve (1)'in (0)'dan uzaklığıdır. Yani vektör dediğimiz şey iki kavram belirtmektedir yön ve uzaklık.
Bu sayede noktaların sahip olduğu pozisyon isimli özelliklerini, yön ve uzaklık olarak ikiye bölmüş oluruz. Yani bir noktanın (0)'a göre pozisyonuna aynı zamanda; (0)'a göre olan yönünde, (0)'a uzaklığı kadar ilerlersek de ulaşırız. Tabi burada yön ve uzaklık derken referans alacağımız şeyler (1)'in yönü ve uzaklığı yani [1] vektörüdür.
Şimdi, ne demiştik hatırlayalım. Noktaların pozisyonlarını tanımlamak için bir adet merkez noktasına ve bir kaç vektöre ihtiyacımız var. Burada 1D uzaydan bahsettiğimize göre bir adet vektörümüz olacak. O da [1] vektörü. ([1]'e aynı zamanda 'i' adı da verilir.)
Şimdi elimizdeki şeyler (0) ve i. Bu ikisi bana bir 1D uzay verir. Bu uzaydaki diğer tüm noktalar (0) ve i cinsinden tanımlanır. Misal (0)'dan i yönüne dönüp, i'nin boyunun 7 katı kadar ilerlesem (7) noktasına gelirim. Bu yüzden (7) noktası (0) dan i yönünde 7 adet i boyu kadar uzaktaki nokta olarak tanımlıdır. Yani :
(7) = (0) + 7i
Burada 7i bana bir başka (i den 7 kat daha uzun) bir vektör verecektir. O da [7] vektörüdür. Buradan yola çıkarak diyebiliriz ki:
(7) = (0) + [7]
Bu 1D uzayında (7) şöyle çizilebilir:
7i
-----------------------------------> [7]
<---------(0)--(1)---------------------------(7)------> (1D uzayımız)
-----> [1]
iŞimdi uzay muzay dedik ama sayı doğrusu çizdik
. Ama uzayı tanımlarken bir tane vektör vardı dolayısıyla sadece tek yönde olabilir uzayımız, yani '1 boyutludur'.
Şimdi daha ileri gitmeden vektör ile nokta arasındaki ayrımı da vurgulayalım. Nokta bu tanımlı uzayda fiks bir koordinattır. Bu koordinat bir pozisyondur, yani yönü ve uzaklığı vardır. Ama vektör denen hadise sadece yön ve uzaklıktan oluşur. Yani [7] vektörünü alsak mesela (3) noktasına eklesek:
(3) + [7] = (10)
Sonuçta (7)'den farklı bir noktaya ulaşırız. Vektörlerin bir konumu yoktur onlar sadece bir yerleri gösterir sürekli.
Şöyle düşünün ileriyi gösteren bi Atatürk heykeli olsun. Bu heykeli alıp denize karşı koyun. Atatürk burada denizi mi gösteriyordur? Hayır, ileriyi gösteriyordur. Alın heykeli benim karşıma koyun. Atatürk beni mi gösteriyor? Hayır, yine ileriyi gösteriyor.
Yani vektörle ulaştığınız yer vektörü bağlamaz. O sadece yön ve uzaklıktır. Gösterdiği yer, nerden gösterdiğine bağlı olarak değişir. Daha rahat edecekseniz vektörler birer oktur da diyebiliriz.
"Şimdi vektörler uzayımızın neresinde? Eleman mı onlarda?" diyeceksiniz. Diyin, güzel soru olur.
Bu uzay kümelerini niçün oluşturmuştuk? Geometrik cisimleri tanımlayabilmek için. Peeeki, bu cisimler için vektörler bir anlam ifade eder mi? Hayır, cisimlerin tamamı noktalardan oluşur. Ama uzayı tanımlamak için vektörleri kullandık. Aslında nokta da kullanabilirdik ama vektörlerle diğer noktaları tanımlamak daha kolay. Burada hem vektör hem nokta olması işi karıştırıyor. O zaman uzaydan noktaları atıp her şeyi vektör yapalım. Noktalara da sıfırdan bakılan vektörler gözüyle bakalım. Yani (a) noktası (0) dan bakan [a] vektörü olsun. Böyle bir [a] vektörüne 'pozisyon vektörü' deriz. Pozisyon vektörü bir noktanın pozisyonunu belli eden hadisedir. Bu sayede 1D uzayını
- ve [1] vektörleriyle tanımlayabilirim. Hatırlamam gereken
- 'ın bir pozisyon vektörü olması gerektiğidir. Bu iki vektör bu uzayın 'basis'idir (beysis). Basisi biliyorsam tüm uzayı biliyorum demektir.
Bu şekilde bir basis ile tanımlanıp, diğer vektörleri ve pozisyonları oluşturan uzay da 'vektör uzayı' oldu galiba. Bu uzayda [a] pozisyon vektörü bulunacaksa şu denklem kullanılabilir:
[a] =
[a] =
[a] = [a]
Ulan Bunların Hepsi Sayı Doğrusu, Yoksa Bizi mi Yiyorsun?Şimdiiii... Artık yeterli alt yapımız varsa biraz daha ilginç meseleler konuşabiliriz. Benim elimde bir adet 1D Uzayı var,
- merkezi ve i yani [1] yönüyle tanımlanmış. Bu uzaya da 'referans 1D uzayı' diyelim. Çünkü bu uzayı kullanarak başka uzaylar oluşturacağız.
Herhangi başka bir 1D uzayı daha oluştururken yine
- ve i'den oluşan basisim olmalı. Ama oluşturduğum her 1D uzaydaki bu vektörler aynı şeyler olmayabilir. Örnekle; her çekirdek ailede bir anne ve baba vardır. Ama her ailenin babası aynı değildir.
Misal Erkan Ailesi olsun (Rufus değil!!). Bu ailenin bireyleri şunlar olsun.
Baba: Ahmet Erkan
Anne: Neriman Erkan
Oğlan: Tayfun Erkan
Bi de Günay ailesi olsun:
Baba: Remzi Günay
Anne: Yeliz Günay
Kız: Esra Günay
Oğlan: Umut Günay
Yeliz Günay ile Ahmet Erkan kardeş olsun.
Şimdi ilişkiler şöyle olacak:
Ahmet, Tayfun'un babası.
Remzi, Esra'nın babası.
Ama Ahmet Esra'nın babası değil, dayısı olacak. Ya da uzunca, annesinin kardeşi.
Burada referansımız Esra ise Remzi baba, Ahmet dayı olacak. Halbuki referans Tayfun olsaydı, Ahmet baba olacaktı. Ama iki aileyi de anne, baba çocuklarla tanımladık. İki aile bireyi arasındaki ilişkiyi bilmek için birinin annesiyle birinin babası arasındaki ilişkiyi bilmem yetti.
Aynı şekilde iki uzay arasındaki ilişkiyi bilmek için de basisleri arasındaki ilişkiyi bilmem yeter. Örneğin referans basisim
- merkez ve [1] yön idi.
- ' merkez ve [1]' yön basisine sahip bir de başka uzayım olsun. Burada tırnağı belirtme sebebim basisteki vektörlerin yeni uzaya göre tanımlı olmaları. Bu basisi eski uzaya göre de tanımlarsam iki uzay arasında geçişler serbest kalır.
Örneğin desem ki "Yeni uzaydaki merkezim
- ' eski uzayda [5] noktasına karşılık geliyordu; yeni uzaydaki [1]' yönü de eski uzaydaki [2] vektörüdür." Bu durumda yeni uzayımın eski (referans) uzayında nasıl konuçlandığını anlatmış olurum. Bu hemen gözle idrak edilemeyebilir birazdan örneklerle pekiştiricem.
Şimdi bütün 1D uzaylar kendi bakış açılarından
- merkez ve [1] yön vektörleriyle tanımlı. Bu matematiksel tutarlılığı sağlıyor ama başka bilgi vermiyor. O yüzden bütün uzayların basislerini referans uzayının gözünden vermek daha mantıklı. Örneğin yeni tanımladığım bir uzay için [2],[4] basisine sahiptir diyorsam burada kastım merkezinin referans uzayında (2) noktasında oluşu ve birim vektörünün referans uzayında [4] vektörü olması. Ama kendi bakış açısından bu basis yine
- ', [1]' olacaktır.
Aaaa! Dur Çok Karıştı!Tamam biraz rahatlayın. Bir adet örnek çözelim, ne dersiniz?
Şimdi yine standart referans 1D uzayım var. İkinci bir uzayı [4] merkez ve [1] birim vektörü olarak tanımlıyorum. Bu uzayları karşılaştırmalı çizersek:
Jale
<--(-2)--(-1)---(0)---(1)---(2)---(3)---(4)---(5)---(6)---(7)------>
Referans uzayım: [0],[1]
<--(-6)'-(-5)'-(-4)'-(-3)'-(-2)'-(-1)'--(0)'--(1)'--(2)'--(3)'----->
Yeni uzayım: [4],[1]
CelalYeni uzayımda merkez yani (0) noktası eski uzayımdaki (4) noktası olacak. İki uzayda da birim vektör [1] dolayısıyla yeni uzayın birim pozisyonu referans uzayında göre (4) + [1] = (5) noktası olacak. Ama bu nokta yeni uzayda (1)' adıyla anılmaya devam edecek. Örneğin yeni uzaydaki (-3)' noktası referansta (1) e denk gelecek.
Şöyle düşünün; referans uzayım koridor olsun (0) noktası da Jale'nin oda kapısı. Yeni bir uzay tanımlayıp merkezini yani (0)' noktasını Celal'in odası yaptım. Soruyorum, Celal'in odasının 3 birim gerisi, Jale'nin odasının neresindedir? (-3)' = (1) idi. Demek ki Jale'nin odasının bir birim sonrasındadır.
Yeni uzayımın basisi
- ,[1] olsun. Yeni uzayımdaki bir (a)' noktası aslında referans uzayında (a + o) dur. Yani
(a)' = (a + o)
(-3)' = (-3 + 4)
(-3)' = (1)
Bir başka örnek daha çözelim. Yeni uzayımızın basisi
- merkez, [3] yön vektörü olsun. Çizersek:
<--(-3)--(-2)--(-1)---(0)---(1)---(2)---(3)---(4)---(5)---(6)------>
Referans uzayım: [0],[1]
<--(-1)---------------(0)---------------(1)---------------(2)------>
Yeni uzayım: [0],[3]Eğer yeni uzayımın basisi
- merkez ve
- yön vektörleri ise, yeni uzayımdaki bir (a)' noktası referansta (a * x) ;
(a)' = (a * x)
eğer x negatif bir sayı ise uzayım referansın aksi yönüne bakacaktı. Örneğin
- merkez [-1] yönlü bir uzayda:
(-8)' = (-8 * -1)
(-8)' = (
olacaktır. Açık değilse çizip görün.
Peki hem merkez hem de yön vektörü gudikse ne olacak? Misal yeni uzayımın basisi [-3] merkez ve [1/2] yön vektörü ise:
<--(-3)--(-2)--(-1)---(0)---(1)---(2)---(3)----->
Referans uzayım: [0], [1]
<---(0)---(2)---(4)---(6)---(8)--(10)--(12)----->
Yeni uzayım: [-3],[1/2]Referansta -3 merkezinde konuçlanacak uzay, ama yeni uzayda bir birim referansta yarım birime denk gelecek.
- merkez ve
- yön basisine sahip bir uzaydaki (a)' noktası referansta (a * x + o) olacaktır.
(a)' = (a * x + o)
Ters ÇevrimlerŞimdi bir referans uzayımız ve bir de referans uzayında basisi
- merkez ve
- yön olan yeni bir uzayımız var demiştik. Bu yeni uzaydaki bir nokta merkezde nereye denk geliyo bulmak için (a)' = (a * x + o) denklemini kullandık. Peki referansta bir nokta merkezde nereye denk geliyo nasıl bulacaz? Çok basit:
(a) = ((a - o) / x)'
Yaptığımızın tersini yaptık yani. Örnek verirsek bi üstteki şekilde mesela referansataki (1) yeni uzayda nerde olacak?
o = -3
x = 1/2
(1) = ((1 + 3) * 2)'
(1) = (4 * 2)'
(1) = (
'
Şekilden de görüldüğü gibi öyle.
Bi de referans basisimizin yeni uzaydaki hali ne olur onu hesaplayalım:
Bi kere [1] = [1/x]' haline gelir. Yani yeni uzayda bir birim referansta x birimse, referansta bir birim yeni uzayda 1/x birim olur.
Merkezi bulmak için üstteki formülü kullanıyoruz.
(0) = ((0 - o) / x)'
(0) = (-o / x)'
Yani referans basisimiz yeni uzayda [-o / x] merkez ve [1/x] yön vektörlerine denk geliyor.
Bi de fark etmediyseniz belirteyim. Normal vektör çevirirken basisler arasındaki yön vektörlerini kullanmak yeter (yani x ile çarpıp bölmek). Çünkü bu vektörlerin bir konumu yoktur, merkezden etkilenmezler. Halbuki pozisyon vektörleri çevrilirken pozisyonların çevrilmiş değerlerini alırlar. Onlar (0) noktasında konumlanıp pozisyon gösteren özel bir vektörlerdir. Örneğin
- = [-o / x]' dediğimizde merkezin pozisyon vektörü çevirmiş olduk.
Özetİki uzayın basisleri:
- ', [1]' =
- ,
- [0], [1] = [-o / x]', [1/x]
Vektör çevrimleri:
[a]' = [a * x]
[a] = [a / x]'
Pozisyon çevrimleri:
(a)' = (a * x + o)
(a) = ((a - o) / x)'
EksperimentalPeki ya x = 0 olsaydı? O zaman yeni uzayım 0D Uzayı olurdu ve tek bir noktası olurdu. O da referans uzayında (o) noktasına denk gelirdi. Referansta ise sadece (o) noktası bu yeni uzaya dahil olurdu. Bu uzaya ben 'sıkıştırma uzayı' diyorum. Niçün?
- merkez ve
- yön ile tanımlı bir uzayda herhangi bir (a)' noktası:
(a') = (a * x + o)
(a') = (a * 0 + o)
(a') = (0 + o)
(a') = (o)
olacaktı. Yani yeni uzayda hangi noktayı alırsam alıyım referansta tek bir nokta demekti. Bu da tüm uzayın sıkıştırılması oluyor. 2D ve 3D de daha anlaşılır olur burası sanırım.
Son Bir Kaç SözBirinci boyutun üzerine çıkamadık ama geometrinin temeli ve çevrimlerin önemli bir kısmı bunlardan ibaret. Buraya kadar Sensei'nin 1D Uzay yazının benzerini işledik. Sonraki kısımda 'Kartezyen Sistem'i göreceğiz. Gerçi buraya kadar ki uzaylar da kartezyendi ama ikinci boyuta geçince kartezyen olmayan uzaylar da olabilir. Neyse ki onlar bu tutorialın konusu değil.
İletileri Göster
. 4k'da release bile yapabilir ehehehe.
